Что можно приготовить из кальмаров: быстро и вкусно
Аргумента x, то она называется периодической, если есть число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.
Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.
Обычно интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.
Классический пример периодических функций - тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период одинаков и равен 2π, то есть sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и так далее. Однако, разумеется, тригонометрические функции - не единственные периодические.
Относительно простых, базовых функций единственный способ установить их периодичность или непериодичность - вычисления. Но для сложных функций уже есть несколько простых правил.
Если F(x) - с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) - тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку первообразная периодически повторяется, то должна повторяться и производная. Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.
Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C - нет.
Если F(x) - периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k - константы и k не равно нулю - тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Например sin(2x) - периодическая функция, и ее период равен π. Наглядно это можно представить так: умножая x на какое-нибудь число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз
Если F1(x) и F2(x) - периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 - рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй - 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.
Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или поздно (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.
Однако если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической вовсе. Например, пусть F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 здесь будет равен 2, а T2 равен 2π. Соотношение периодов равняется π - иррациональному числу. Следовательно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.
По школьным урокам математики всякий помнит график синуса, равномерными волнами уходящий вдаль. Аналогичным свойством - повторяться через определенный интервал - владеют и многие другие функции. Они именуются периодическими. Периодичность - дюже значимое качество функции, зачастую встречающееся в разных задачах. Следственно благотворно уметь определять, является ли функция периодической.
Инструкция
1. Если F(x) - функция довода x, то она именуется периодической, если есть такое число T, что для всякого x F(x + T) = F(x). Это число T и именуется периодом функции.Периодов может быть и несколько. Скажем, функция F = const для всяких значений довода принимает одно и то же значение, а потому всякое число может считаться ее периодом.Традиционно математика волнует минимальный не равный нулю период функции. Его для краткости и называют примитивно периодом.
2. Типичный пример периодических функций - тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период идентичен и равен 2?, то есть sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) и так дальше. Впрочем, разумеется, тригонометрические функции - не исключительные периодические.
3. Касательно примитивных, базовых функций исключительный метод установить их периодичность либо непериодичность - вычисления. Но для трудных функций теснее есть несколько примитивных правил.
4. Если F(x) - периодическая функция с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F?(x) - тоже периодическая функция с периодом T. Чай значение производной в точке x равно тангенсу угла наклона касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а от того что первообразная периодично повторяется, то должна повторяться и производная. Скажем, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется постоянно.Впрочем обратное не неизменно правильно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C - нет.
5. Если F(x) - периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k - константы и k не равно нулю - тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Скажем sin(2x) - периодическая функция, и ее период равен?. Наглядно это дозволено представить так: умножая x на какое-либо число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз
6. Если F1(x) и F2(x) - периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Впрочем ее период не будет легкой суммой периодов T1 и T2. Если итог деления T1/T2 - разумное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему всеобщему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Скажем, если период первой функции равен 12, а период 2-й - 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.Наглядно это дозволено представить так: функции идут с различной «шириной шага», но если отношение их ширин осмысленно, то рано либо поздно (а вернее, именно через НОК шагов), они вновь сравняются, и их сумма начнет новейший период.
7. Впрочем если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической совсем. Скажем, пускай F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 тут будет равен 2, а T2 равен 2?. Соотношение периодов равняется? - иррациональному числу. Следственно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.
Многие математические функции имеют одну специфика, облегчающую их построение, – это периодичность , то есть повторяемость графика на координатной сетке через равные интервалы.
Инструкция
1. Самыми вестимыми периодическими функциями математики являются синусоида и косинусоида. Эти функции имеют волнообразный нрав и стержневой период, равный 2П. Также частным случаем периодической функции является f(x)=const. На позицию х подходит всякое число, основного периода данная функция не имеет, потому что представляет собой прямую.
2. Вообще функция является периодической, если существует такое целое число N, которое отменно от нуля и удовлетворяет правилу f(x)=f(x+N), таким образом обеспечивая повторяемость. Период функции – это и есть наименьшее число N, но не нуль. То есть, скажем, функция sin x равна функции sin (x+2ПN), где N=±1, ±2 и т.д.
3. Изредка при функции может стоять множитель (скажем sin 2x), тот, что увеличит либо сократит период функции. Для того дабы обнаружить период по графику , нужно определить экстремумы функции – самую высокую и самую низкую точки графика функции. Потому что синусоида и косинусоида имеют волнообразный нрав, это довольно легко сделать. От данных точек постройте перпендикулярные прямые до пересечения с осью Х.
4. Расстояние от верхнего экстремума до нижнего будет половиной периода функции. Комфортнее каждого вычислять период от пересечения графика с осью Y и, соответственно, нулевой отметки по оси х. Позже этого нужно умножить полученное значение на два и получить стержневой период функции.
5. Для простоты построения графиков синусоиды и косинусоиды нужно подметить, что если при функции стоит целое число, то ее период удлинится (то есть 2П необходимо умножить на этот показатель) и график будет выглядеть больше мягко, плавно; а если число дробное, напротив, сократится и график станет больше «острым», скачкообразным на вид.
Видео по теме
Изучая явления природы, решая технические задачи, мы сталкиваемся с периодическими процессами, которые можно описать функциями особого вида.
Функция y = f(x) с областью определения D называется периодической, если существует хотя бы одно число T > 0, такое, при котором выполняются следующие два условия:
1) точки x + T, x − T принадлежат области определения D для любого x ∈ D;
2) для каждого x из D имеет место соотношение
f(x) = f(x + T) = f(x − T).
Число T называется периодом функции f(x). Иными словами, периодической функцией является такая функция, значения которой повторяются через некоторый промежуток. Например, функция y = sin x - периодическая (рис. 1) с периодом 2π.
Заметим, что если число T является периодом функции f(x), то и число 2T также будет ее периодом, как и 3T, и 4T и т. д., т. е. у периодической функции бесконечно много разных периодов. Если среди них имеется наименьший (не равный нулю), то все остальные периоды функции являются кратными этого числа. Заметим, что не каждая периодическая функция имеет такой наименьший положительный период; например, функция f(x)=1 такого периода не имеет. Важно также иметь в виду, что, например, сумма двух периодических функций, имеющих один и тот же наименьший положительный период T 0 , не обязательно имеет тот же самый положительный период. Так, сумма функций f(x) = sin x и g(x) = −sin x вообще не имеет наименьшего положительного периода, а сумма функций f(x) = sin x + sin 2x и g(x) = −sin x, наименьшие периоды которых равны 2π, имеет наименьший положительный период, равный π.
Если отношение периодов двух функций f(x) и g(x) является рациональным числом, то сумма и произведение этих функций также будут периодическими функциями. Если же отношение периодов всюду определенных и непрерывных функций f и g будет иррациональным числом, то функции f+g и fg уже будут непериодическими функциями. Так, например, функции cos x sin √2 x и cosj √2 x + sin x являются непериодическими, хотя функции sin x и cos x периодичны с периодом 2π, функции sin √2 x и cos √2 x периодичны с периодом √2 π.
Отметим, что если f(x) - периодическая функция с периодом T, то сложная функция (если, конечно, она имеет смысл) F(f(x)) является также периодической функцией, причем число T будет служить её периодом. Например, функции y = sin 2 x, y = √(cos x) (рис. 2,3) - периодические функции (здесь: F 1 (z) = z 2 и F 2 (z) = √z). Не следует, однако, думать, что если функция f(x) имеет наименьший положительный период T 0 , то и функция F(f(x)) будет иметь такой же наименьший положительный период; например, функция y = sin 2 x имеет наименьший положительный период, в 2 раза меньший, чем функция f(x) = sin x (рис. 2).
Нетрудно показать, что если функция f периодична с периодом T, определена и дифференцируема в каждой точке действительной прямой, то функция f"(x) (производная) есть также периодическая функция с периодом T, однако первообразная функция F(x) (см. Интегральное исчисление) для f(x) будет периодической функцией только в том случае, когда
F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.
Приложение №7
Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 3
Учитель
Короткова
Ася Эдиковна
г. Курганинск
2008г.
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Введение ……………………………………………… 2-3
Периодические функции и их свойства ……………. 4-6
Задачи ………………………………………………… 7-14
Введение
Отметим, что у задач на периодичность в учебно-методической литературе нелёгкая судьба. Объясняется это странной традицией-допускать те или иные небрежности в определении периодических функций, которые приводят к к спорным решениям и провоцируют инциденты на экзаменах.
Например, в книге «Толковый словарь математических терминов» - М, 1965г., даётся следующее определение: «периодическая функция – функция
y = f(х), для которой существует число t > 0, что для всех х и х+t из области определения f(x + t) = f(х).
Приведём контр-пример, показывающий некорректность этого определения. По этому определению периодической с периодом t = 2π будет функция
с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 с ограниченной областью определения , что противоречит общепринятой точке зрения о периодических функциях.
Аналогичные проблемы возникают и во многих новейших альтернативных учебниках для школы.
В учебнике А.Н.Колмогорова приводится следующее определение: «Говоря о периодичности функции f, полагают, что имеется такое число Т ≠ 0, что область определения Д (f) вместе с каждой точкой х содержит и точки, получающиеся из х параллельным переносом вдоль оси Ох (вправо и влево) на расстояние Т. Функцию f называют периодической с периодом Т ≠ 0, если для любого из области определения значения этой функции в точках х, х – Т, х + Т равны, т.е. f (х + Т) = f (х) = f (х – Т)». Далее в учебнике написано: «Поскольку синус и косинус определена на всей числовой прямой и Sin (х + 2π) = Sin х,
Cos (х + 2π) = Cos х для любого х, синус и косинус – период функции с периодом 2π».
В этом примере почему-то не проверяется требуемое в определении условия что
Sin (х – 2π) = Sin х. В чём дело? Дело в том, что это условие в определении лишнее. Действительно, ведь если Т > 0 – период функции f(х), то Т тоже будет являться периодом этой функции.
Хочу привести ещё одно определение из учебника М.И.Башмакова «Алгебра и начала анализа 10-11 кл.» «Функция у = f(х) называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что равенство
f (х + Т) = f(х) выполняется тождественно при всех значениях х».
В приведённом определении ничего не говорится об области определения функции, хотя имеется в виду х из области определения, не любые действительные х. По такому определению периодической может быть функция у = Sin (√х) 2 , определенная только при х ≥ 0, что неверно.
В едином государственном экзамене имеются задачи на периодичность. В одном научно- периодическом журнале в качестве тренинга по разделу С ЕГЭ было приведено решение задачи: « является ли функция у (х) = Sin 2 (2+х) – 2 Sin 2 Sin х Cos (2+х) периодической?»
В решении проявляется, что у (х – π) = у (х) в ответе – лишняя запись
«Т = π» (ведь вопрос о нахождении наименьшего положительного периода не ставиться). Так ли необходимо для решения этой задачи проводить непростое тригонометрическое образование. Ведь здесь можно ориентироваться на понятие периодичности, как на ключевое в условии задачи.
Решение.
f 1 (x) = Sin х – периодическая функция с периодом Т = 2π
f 2 (x) = Cos х – периодическая функция с периодом Т = 2π, тогда 2π – период и для функций f 3 (x) = Sin (2 + х) и f 4 (x) = Cos (2 + х), (это следует из определения периодичности)
f 5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, её периодом является любое число, в том числе и 2π.
Т.к. сумма и произведение периодических функций с общим периодом Т, также является Т-периодичной, то данная функция периодичная.
Надеюсь, что приведённый в этой работе материал, поможет при подготовке к единому государственному экзамену в решении задач на периодичность.
Периодические функции и их свойства
О п р е д е л е н и е: функция f(t) называется периодической, если для любого t из области определения этой функции D f существует число ω ≠ 0, такое, что:
1) числа (t ± ω) є D f ;
2) f (t + ω) = f(t).
1. Если число ω = период функции f (t), то число kω, где k = ±1, ±2, ±3, … тоже являются периодами функции f(t).
П р и м е р. f (t) = Sin t. Число Т = 2π – наименьший положительный период данной функции. Пусть Т 1 = 4π. Покажем, что Т 1 тоже является периодом данной функции.
F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.
Значит, Т 1 – период функции f (t) = Sin t.
2. Если функция f(t) – ω – периодическая функция, то функции f (аt), где а є R, и f (t + с), где с – произвольная константа, тоже являются периодическими.
Найдём период функции f (аt).
f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), т.е. f (аt) = f (а(t + ω/а).
Следовательно, период функции f(аt) – ω 1 = ω/а.
П р и м е р 1. Найти период функции у = Sin t/2.
П р и м е р 2. Найти период функции у = Sin (t + π/3).
Пусть f(t) = Sin t; у 0 = Sin (t 0 + π/3).
Тогда функция f(t) = Sin t примет тоже значение у 0 при t = t 0 + π/3.
Т.е. все значения, которые принимает функция у принимает и функция f(t). Если t толковать как время, то каждое значение у 0 функцией у = Sin (t + π/3) принимается на π/3 единиц времени раньше, чем функцией f(t) «сдвигом» влево на π/3. Очевидно, период функции от этого не изменится т.е. Т у = Т 1 .
3. Если F(x) – некоторая функция, а f(t) – периодическая функция, причём такая, что f(t) принадлежит области определения функции F(x) – D F , тогда функция F(f (t)) – периодическая функция.
Пусть F(f (t)) = φ.
Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) для любого t є D f .
П р и м е р. Исследовать на периодичность функцию: F(x) = ℓ sin x .
Область определения данной функции D f совпадает с множеством действительных чисел R. f (х) = Sin х.
Множество значений этой функции – [-1; 1]. Т.к. отрезок [-1; 1] принадлежит D f , то функция F(x) периодическая.
F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).
2 π – период данной функции.
4. Если функции f 1 (t) и f 2 (t) периодические соответственно с периодами ω 1 и ω 2 и ω 1 /ω 2 = r, где r – рациональное число, то функции
С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) и f 1 (t) · f 2 (t) являются периодическими (С 1 и С 2 – константы).
Замечание: 1) Если r = ω 1 /ω 2 = p/q, т.к. r – рациональное число, тогда
ω 1 q = ω 2 p = ω, где ω – наименьшее общие кратное чисел ω 1 и ω 2 (НОК).
Рассмотрим функцию С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t).
Действительно, ω = НОК (ω 1 , ω 2 ) - период данной функции
С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) .
2) ω – период функции f 1 (t) · f 2 (t), т.к.
f 1 (t + ω) · f 2 (t + ω =f 1 (t +ω 1 q) · f 2 (t =ω 2 p) = f 1 (t) · f 2 (t).
О п р е д е л е н и е: Пусть f 1 (t) и f (t) – периодические функции с периодами соответственно ω 1 и ω 2 , тогда два периода называются соизмеримыми, если ω 1 /ω 2 = r – рациональное число.
3) Если периоды ω 1 и ω 2 не соизмеримы, то функции f 1 (t) + f 2 (t) и
f 1 (t) · f 2 (t) не являются периодическими. Т.е., если f 1 (t) и f 2 (t)отличны от константы, периодичны, непрерывны, их периоды не соизмеримы, то f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) · f 2 (t) не являются периодическими.
4) Пусть f(t) = С, где С – произвольная константа. Данная функция периодичная. Её периодом является любое рациональное число, значит, наименьшего положительного периода она не имеет.
5) Утверждение верно и для большего числа функций.
П р и м е р 1. Исследовать на периодичность функцию
F(х) = Sin х + Cos х.
Решение. Пусть f 1 (х) = Sin х, тогда ω 1 = 2πk, где k є Z.
Т 1 = 2π – наименьший положительный период.
f 2 (х) = Cos х, Т 2 = 2π.
Отношение Т 1 /Т 2 = 2π/2π = 1 – рациональное число, т.е. периоды функций f 1 (х) и f 2 (х) соизмеримы. Значит, данная функция периодична. Найдём её период. По определению периодической функции имеем
Sin (х + Т) + Cos (х + Т) = Sin х + Cos х,
Sin (х + Т) - Sin х = Cos х - Cos (х + Т),
2 Cos 2х+ π/2 · Sin Т/2 = 2 Sin 2х+Т/2 · Sin Т/2,
Sin Т/2 (Cos Т+2х/2 - Sin Т+2х/2) =0,
√2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0, следовательно,
Sin Т/2 = 0, тогда Т = 2πk.
Т.к. (х ± 2πk) є D f , где f(х) = Sin х + Cos х,
f(х + t) = f(х), то функция f(х) – периодическая с наименьшим положительным периодом 2π.
П р и м е р 2. Является ли периодическая функция f(х) = Cos 2х · Sin х, каков её период?
Решение. Пусть f 1 (х) = Cos 2х, тогда Т 1 = 2π : 2 = π (см. 2)
Пусть f 2 (х) = Sin х, тогда Т 2 = 2π. Т.к. π/2π = ½ - рациональное число, то данная функция является периодической. Её период Т = НОК
(π, 2π) = 2π.
Итак, данная функция периодическая с периодом 2π.
5. Пусть функция f(t), тождественно не равная константе, непрерывна и периодична, тогда она имеет наименьший положительный период ω 0 , всякий другой период её ω имеет вид: ω = kω 0 , гдк k є Z.
Замечание: 1) В этом свойстве очень важны два условия:
f(t) непрерывна, f(t) ≠ С, где С – константа.
2) Обратное утверждение не верно. Т.е., если все периоды соизмеримы, то отсюда не следует, что существует наименьший положительный период. Т.е. у периодической функции наименьшего положительного периода может и не быть.
П р и м е р 1. f(t) = С, периодическая. Её период – любое действительное число, наименьшего периода нет.
П р и м е р 2. Функция Дирихле:
D(х) =
Любое рациональное число является её периодом, наименьшего положительного периода нет.
6. Если f(t) – непрерывная периодическая функция и ω 0 – её наименьший положительный период, то функция f(αt + β) имеет наименьший положительный период ω 0 //α/. Это утверждение следует из п. 2.
П р и м е р 1. Найти период функции у = Sin (2х – 5).
Решение. у = Sin (2х – 5) = Sin (2(х – 5/2)).
График функции у получается из графика функции Sin х сначала «сжатием» в два раза, затем «сдвигом» вправо на 2,5. «Сдвиг на периодичность не влияет, Т = π – период данной функции.
Легко получить период данной функции, используя свойство п. 6:
Т = 2π/2 = π.
7. Если f(t) – ω – периодическая функция, и она имеет непрерывную производную f"(t), то f"(t) тоже периодическая функция, Т = ω
П р и м е р 1. f(t) = Sin t, Т = 2πk. Её производная f"(t) = Cos t
F"(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.
П р и м е р 2. f(t) = Cos t, Т = 2πk. Её производная
F"(t) = - Sin t, Т = 2πk, k є Z.
П р и м е р 3. f(t) =tg t, её период Т = πk.
F"(t) = 1/ Cos 2 t – тоже периодическая по свойству п. 7 и имеет период Т = πk. Её наименьший положительный период Т = π.
З А Д А Ч И.
№ 1
Является ли функция f(t) = Sin t + Sin πt периодической?
Решение. Для сравнения решим эту задачу двумя способами.
Во-первых, по определению периодической функции. Допустим, что f(t) – периодическая, тогда для любого t є D f имеем:
Sin (t + Т) + Sin π (t + Т) = Sin t + Sin πt,
Sin (t + Т) - Sin t = Sin πt - Sin π (t + Т),
2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.
Т.к. это верно для любого t є D f , то в частности и для t 0 , при котором левая часть последнего равенства обращается в ноль.
Тогда имеем: 1) Cos 2t 0 +Т/2 Sin Т/2 = 0. Разрешим относительно Т.
Sin Т/2 = 0 при Т = 2 πk, где k є Z.
2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πТ/2 = 0. Разрешим относительно Т.
Sin πТ/2 = 0, тогда Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, где n є Z.
Т.к. имеем тождество, то 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, чего быть не может, т.к. π – иррациональное число, а n/ k – рациональное. Т.е., наше предположение что функция f(t) – периодическая было не верным.
Во – вторых, решение гораздо упрощается, если воспользоваться приведёнными выше свойствами периодических функций:
Пусть f 1 (t) = Sin t, Т 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, Т 2 - 2π/π = 2. Тогда, Т 1 /Т 2 = 2π/2 = π –иррациональное число, т.е. периоды Т 1 , Т 2 не соизмеримы, значит, f(t) не является периодической.
Ответ: нет.
№ 2
Показать, что если α – иррациональное число, то функция
F(t) = Cos t + Cos αt
не является периодической.
Решение. Пусть f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.
Тогда их периоды соответственно Т 1 = 2π, Т 2 = 2π//α/ - наименьшие положительные периоды. Найдём, Т 1 /Т 2 = 2π/α//2π = /α/ - иррациональное число. Значит Т 1 и Т 2 несоизмеримы, а функция
f(t) не является периодической.
№ 3
Найти наименьший положительный период функции f(t) = Sin 5t.
Решение. По свойству п.2 имеем:
f(t) – периодическая; Т = 2π/5.
Ответ: 2π/5.
№ 4
Является ли периодической функция F(х) = arccos x + arcsin x?
Решение. Рассмотрим данную функцию
F(х) = arccos x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,
т.е. F(х) – периодическая функция (см. свойство п. 5, пример 1.).
Ответ: да.
№ 5
Является ли периодической функция
F(х) = Sin 2х + Cos 4х + 5 ?
решение. Пусть f 1 (х) = Sin 2х, тогда Т 1 = π;
F 2 (х) = Cos 4х, тогда Т 2 = 2π/4 = π/2;
F 3 (х) = 5, Т 3 – любое действительное число, в частности Т 3 можем предположить равным Т 1 или Т 2 . Тогда период данной функции Т = НОК (π, π/2) = π. Т.е., f(х) – периодическая с периодом Т = π.
Ответ: да.
№ 6
Является ли периодической функция f(х) = х – Е(х), где Е(х) – функция, ставящая аргументу х в соответствие наименьшее целое число, не превосходящее данное.
Решение. Часто функцию f(х) обозначают {x} – дробная часть числа х, т.е.
F(х) = {x} = х – Е(х).
Пусть f(х) – периодическая функция, т.е. существует такое число Т >0, что х – Е(х) = х + Т – Е(х + Т). Распишем это равенство
{x} + Е(х) – Е(х) = {x + T} + E(х + Т) – Е(х + Т),
{x} + {x + T} – верно для любого х из области определения D f, при условии, что Т ≠ 0 и Т є Z. Наименьшее положительное из них Т = 1, т.е. Т =1 такое, что
Х + Т – Е(х + Т) = х – Е(х),
Причём, (х ± Тk) є D f , где k є Z.
Ответ: данная функция периодична.
№ 7
Является ли периодичной функция f(х) = Sin х 2 .
Решение. Допустим, что f(х) = Sin х 2 периодическая функция. Тогда по определению периодической функции существует число Т ≠ 0 такое, что: Sin х 2 = Sin (х + Т) 2 для любого х є D f .
Sin х 2 = Sin (х + Т) 2 = 0,
2 Cos х 2 + (х+Т) 2 /2 Sin х 2 -(х+Т) 2 /2 = 0, тогда
Cos х 2 + (х+Т) 2 /2 = 0 или Sin х 2 -(х+Т) 2 /2 = 0.
Рассмотрим первое уравнение:
Cos х 2 + (х+Т) 2 /2 = 0,
Х 2 + (х+Т) 2 /2 = π(1+2 k)/2 (k є Z),
Т = √ π(1+2 k) – х 2 – х. (1)
Рассмотрим второе уравнение:
Sin х 2 -(х+Т) 2 /2 = 0,
Х + Т = √- 2πk + х 2 ,
Т = √х 2 - 2πk – х. (2)
Из выражений (1) и (2) видно, что найденные значения Т зависит от х, т.е. не существует такого Т>0, что
Sin х 2 = Sin (х+Т) 2
Для любого х из области определения этой функции. f(х) – не периодична.
Ответ: нет
№ 8
Исследовать на периодичность функцию f(х) = Cos 2 х.
Решение. Представим f(х) по формуле косинуса двойного угла
F(х) = 1/2 + 1/2 Cos 2х.
Пусть f 1 (х) = ½ , тогда Т 1 – это может быть любое действительное число; f 2 (х) = ½ Cos 2х – периодическая функция, т.к. произведение двух периодических функций, имеющих общий период Т 2 = π. Тогда наименьший положительный период данной функции
Т = НОК (Т 1 , Т 2 ) =π.
Итак, функция f(х) = Cos 2 х – π – периодична.
Ответ: π – периодична.
№ 9
Может ли областью определения периодической функции быть:
А) полупрямая [а, ∞),
Б) отрезок ?
Решение. Нет, т.к.
А) по определению периодической функции, если х є D f, то х ± ω тоже
Должны принадлежать области определения функции. Пусть х = а, то
Х 1 = (а – ω) є [а, ∞);
Б) пусть х = 1, то х 1 = (1 + Т) є .
№ 10
Может ли периодическая функция быть:
А) строго монотонной;
Б) чётной;
В) не чётной?
Решение. а) Пусть f(х) – периодическая функция, т.е. существует Т≠0 такое, что для любого х из области определения функций D f чтсла
(х ±Т) є D f и f (х±Т) = f(х).
Зафиксируем любое х 0 є D f , т.к. f(х) – периодическая, то (х 0 +Т) є D f и f(х 0 ) = f(х 0 +Т).
Допустим, что f(х) строго монотонна и на всей области определения D f , например, возрастает. Тогда по определению возрастающей функции для любых х 1 и х 2 из области определения D f из неравенства х 1 2 следует, что f(х 1 ) 2 ). Вчастности, из условия х 0 0 + Т, следует, что
F(х 0 ) 0 +Т), что противоречит условию.
Значит, периодическая функция не может быть строго монотонной.
б) Да, периодическая функция может быть чётной. Приведём несколько примеров.
F(х) = Cos х, Cos х = Cos (-х), Т = 2π, f(х) – чётная периодическая функция.
0, если х – рациональное число;
D(х) =
1, если х – иррациональное число.
D(х) = D(-х), область определения функции D(х) симметрична.
Функция Дирехле D(х) является чётной периодической функцией.
f(х) = {x},
f(-х) = -х – Е(-х) = {-x} ≠ {x}.
Данная функция не является чётной.
в) Периодическая функция может быть нечётной.
f(х) = Sin х, f(-х) = Sin (-х) = - Sin = - f(х)
f(х) – нечетная периодическая функция.
f(х) – Sin х · Cos х, f(-х) = Sin (-х) Cos (-х) = - Sin х Cos х = - f(х) ,
f(х) – нечётная и периодическая.
f(х) = ℓ Sin x , f(-х) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(х),
f(х) не является нечётной.
f(х) = tg x – нечётная периодическая функция.
Ответ: нет; да; да.
№ 11
Сколько нулей может иметь периодическая функция на:
1) ; 2) на всей числовой оси, если период функции равен Т?
Решение: 1. а) На отрезке [а, б] периодическая функция может не иметь нулей, например, f(х) = С, С≠0; f(х) = Cos х + 2.
б) На отрезке [а, б] периодическая функция может иметь бесконечное множество нулей, например, функция Дирехле
0, если х – рациональное число,
D(х) =
1, если х – иррациональное число.
в) На отрезке [а, б] периодическая функция может иметь конечное число нулей. Найдём это число.
Пусть Т – период функции. Обозначим
Х 0 = {min x є{a,б}, таких что f(х) = 0}.
Тогда число нулей на отрезке [а, б]: N = 1 + Е (в-х 0 /Т).
Пример 1. х є [-2, 7π/2], f(х) = Cos 2 х – периодическая функция с периодом Т = π; х 0 = -π/2; тогда число нулей функции f(х) на данном отрезке
N = 1 + Е (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + Е (8π/2π) = 5.
Пример 2. f(х) = х – Е(х), х є [-2; 8,5]. f(х) – периодическая функция, Т + 1,
х 0 = -2. Тогда число нулей функции f(х) на данном отрезке
N = 1 + Е (8,5 – (-2)/1) = 1 + Е (10,5/1) = 1 + 10 = 11.
Пример 3. f(х) = Cos х, х є [-3π; π], Т 0 = 2π, х 0 = - 5π/2.
Тогда число нулей данной функции на заданном отрезке
N = 1 + Е (π – (-5π/2)/2π) = 1 + Е (7π/2π) = 1 + 3 = 4.
2. а) Бесконечное число нулей, т.к. х 0 є D f и f(х 0 ) = 0, то для всех чисел
Х 0 +Тk, где k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0 ) =0, а точек вида х 0 ± Тk бесконечное множество;
б) не иметь нулей; если f(х) – периодическая и для любых
х є D f функция f(х) >0 или f(х)
F(х) = Sin х +3,6; f(х) = С, С ≠ 0;
F(х) = Sin х – 8 + Cos х;
F(х) = Sin х Cos х + 5.
№ 12
Может ли сумма не периодических функций быть периодической?
Решение. Да, может. Например:
- f 1 (х) = х – непериодическая, f 2 (х) = Е(х) – непериодическая
F(х) = f 1 (х) – f 2 (х) = х – Е(х) – периодическая.
- f 1 (х) = х – непериодическая, f(х) = Sin х + х – непериодическая
F(х) = f 2 (х) – f 1 (х) = Sin х – периодическая.
Ответ: да.
№ 13
Функция f(х) и φ(х) периодические с периодами Т 1 и Т 2 соответственно. Всегда ли их произведение есть периодическая функция?
Решение. Нет, только в случае, когда Т 1 и Т 2 – соизмеримы. Например,
F(х) = Sin х · Sin πх, Т 1 = 2π, Т 2 = 2; тогда Т 1 /Т 2 = 2π/2 = π – иррациональное число, значит, f(х) не является периодической.
f(х) = {х} Cos х = (х – Е(х)) Cos х. Пусть f 1 (х) = х – Е(х), Т 1 = 1;
f 2 (х) = Cos (х), Т 2 = 2π. Т 2 /Т 1 = 2π/1 = 2π, значит f(х) не является периодической.
Ответ: Нет.
Задачи для самостоятельного решения
Какие из функций являются периодическими, найти период?
1. f(х) = Sin 2х, 10. f(х) = Sin х/2 + tg х,
2. f(х) = Cos х/2, 11. f(х) = Sin 3х + Cos 4х,
3. f(х) = tg 3х, 12. f(х) = Sin 2 х+1,
4. f(х) = Cos (1 – 2х), 13. f(х) = tg х + ctg√2х,
5. f(х) = Sin х Cos х, 14. f(х) = Sin πх + Cos х,
6. f(х) = ctg х/3, 15. f(х) = х 2 – Е(х 2 ),
7. f(х) = Sin (3х – π/4), 16. f(х) = (х – Е(х)) 2 ,
8. f(х) = Sin 4 х + Cos 4 х, 17. f(х) = 2 х – Е(х) ,
9. f(х) = Sin 2 х, 18. f(х) = х – n + 1, если n ≤ х≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
№ 14
Пусть f(х) – Т – периодическая функция. Какие из функций периодические (найти Т)?
- φ(х) = f(х + λ) – периодическая, т.к. «сдвиг» вдоль оси Ох на ω не влияет; её период ω = Т.
- φ(х) = а f(х + λ) + в – периодическая функция с периодом ω = Т.
- φ(х) = f(kх) – периодическая функция с периодом ω = Т/k.
- φ(х) = f(ах + в) - периодическая функция с периодом ω = Т/а.
- φ(х) = f(√х) не является периодической, т.к. её область определения D φ = {x/x ≥ 0}, а у периодической функции область определения полуосью быть не может.
- φ(х) = (f(х) + 1/(f(х) – 1) – периодическая функция, т.к.
φ(х +Т) = f(х+Т) + 1/f(х +Т) – 1 = φ(х), ω = Т.
- φ(х) = а f 2 (х) + в f(х) + с.
Пусть φ 1 (х) = а f 2 (х) – периодическая, ω 1 = т/2;
φ 2 (х) = в f(х) – периодическая, ω 2 = Т/Т = Т;
φ 3 (х) = с – периодическая, ω 3 – любое число;
тогда ω = НОК(Т/2; Т) = Т, φ(х) – периодическая.
Иначе, т.к. областью определения данной функции является вся числовая прямая, то множество значений функции f – Е f є D φ , значит, функция
φ(х) – периодическая и ω = Т.
- φ(х) = √φ(х), f(х) ≥ 0.
φ(х) – периодическая с периодом ω = Т, т.к. для любого х функция f(х) принимает значения f(х) ≥ 0, т.е. её множество значений Е f є D φ , где
D φ – область определения функции φ(z) = √z.
№ 15
Является ли функция f(х) = х 2 периодической?
Решение. Рассмотрим х ≥ 0, тогда для f(х) существует обратная функция √х, значит, на этом интервале f(х) – монотонная функция, тогда она не может быть периодической (см. № 10).
№ 16
Дан многочлен P(х) = а 0 + а 1 х + а 2 х + …а n х.
Является ли Р(х) периодической функцией?
Решение. 1. Если тождество равно константе, то P(х) – периодическая функция, т.е. если а i = 0, где i ≥ 1.
2.Пусть P(х) ≠ с, где с – некоторая константа. Допустим P(х) – периодическая функция, и пусть P(х) имеет вещественные корни, тогда т.к. P(х) - периодическая функция, то их должно быть бесконечное множество. А по основной теореме алгебры их число k таково, что k ≤ n. Значит, P(х) не является периодической функцией.
3. Пусть P(х) тождественно неравный нулю многочлен, и он не имеет вещественных корней. Допустим, P(х) – периодическая функция. Введём многочлен q(х) = а 0 , q(х) – периодическая функция. Рассмотрим разность P(х) - q(х) = а 1 х 2 + … +а n х n .
Т.к. в левой части равенства стоит периодическая функция, то функция, стоящая в правой части, тоже периодична, причём, она имеет хотя бы один вещественный корень, х = 0. Т.к. функция периодична, то нулей должно быть бесконечное множество. Получили противоречие.
P(х) не является периодической функцией.
№ 17
Дана функция f(t) – Т – периодическая. Является ли функция f к (t), где
k є Z, периодической функцией, как связаны их периоды?
Решение. Доказательство проведём методом математической функции. Пусть
f 1 = f(t), тогда f 2 = f 2 (t) = f(t) · f(t),
F 3 = f 3 (t) = f(t) · f 2 – периодическая функция по свойству п. 4.
………………………………………………………………………….
Пусть f к-1 = f к-1 (t) – периодическая функция и её период Т к-1 соизмерим с периодом Т. Умножим обе части последнего равенства на f(t), получим f к-1 ·f(t) = f(t) ·f к-1 (t),
F к = f к (t) – периодическая функция по свойству п.4. ω ≤ Т.
№ 18
Пусть f(х – произвольная функция, определённая на . Является ли функция f({x}) периодической?
О т в е т: да, т.к. множество значений функции {x} принадлежит области определения функции f(х), то по свойству п.3 f({x}) – периодическая функция, её период ω = Т = 1.
№ 19
F(х) – произвольная функция, определённая на [-1; 1], является ли функция f(sinx) периодической?
О т в е т: да, её период ω = Т = 2π (доказательство аналогично № 18).
В обычных школьных задачах доказать периодичность той или иной функции обычно нетрудно: так, чтобы убедиться, что функция $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ является периодической, достаточно просто отметить, что произведение $T=4\times7\times 2\pi$ является ее периодом: если мы прибавим к х число Т, то это произведение «съест» оба знаменателя и под знаком синуса окажутся лишними только целые кратные числа $2\pi$, которые «съест» сам синус.
Но доказательство непериодичности той или иной функции непосредственно по определению может оказаться совсем не простым. Так, для доказательства непериодичности рассмотренной выше функции $y=\sin x^2$ можно выписать равенство $sin(x+T)^2=\sin x^2$, но не решать по привычке это тригонометрическое уравнение, а догадаться подставить в него х=0, после чего дальнейшее получится почти автоматически: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, где k - некоторое целое число, большее 0, т.е. $T=\sqrt {k\pi}$, а если теперь догадаться подставить в него $x=\sqrt {\pi}$, то получится, что $\sin(\sqrt{\pi}+\sqrt{k\pi})=0$, откуда $\sqrt{\pi}+\sqrt{k\pi}=n\pi$, $1+\sqrt{k}=n\sqrt{\pi}$, $1+k+2\sqrt{k}=n^2\pi$, $2\sqrt{k}=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4{\pi}^2+2mn^2x+m^2$, и таким образом, число р является корнем уравнения $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, т.е. является алгебраическим, что неверно: $\pi$ является, как мы знаем, трансцендентным, т.е. не является корнем никакого алгебраичской уравнения с целыми коэффициентами. Впрочем, в будущем мы получим гораздо более простое доказательство этого утверждения - но уже с помощью средств математического анализа.
При доказательстве непериодичности функций часто помогает элементарный логический трюк: если все периодические функции обладают некоторым свойством, а данная функция им не обладает, то она, естественно, не является периодической . Так, периодическая функция всякое свое значение принимает бесконечно много раз, и поэтому, например, функция $y=\frac{3x^2-5x+7}{4x^3-x+2}$ не является периодической, так как значение 7 она принимает только в двух точках. Часто для доказательства непериодичности удобно использовать особенности ее области определения , а для нахождения нужного свойства периодических функций иногда приходится проявлять определенную фантазию.
Заметим еще, что очень часто на вопрос, что же такое непериодическая функция, приходится слышать ответ в стиле, о котором мы говорили в связи с четными и нечетными функциями , - это когда $f(x+T)\neq f(x)$, что, конечно же, недопустимо.
А правильный ответ зависит от конкретного определения периодической функции, и, исходя из данного выше определения, можно, конечно, сказать, что функция является непериодической, если она не имеет ни одного периода, но это будет «плохое» определение, которое не дает направления доказательства непериодичности . А если его расшифровать далее, описав, что значит предложение «функция f не имеет ни одного периода», или, что то же самое, «никакое число $T \neq 0$ не является периодом функции f», то получим, что функция f не является периодической в том и только в том случае, когда для всякого $T \neq 0$ существует число $x\in D(f)$ такое, что либо хотя бы одно из чисел $x+T$ и $x-T$ не принадлежит D(f), либо $f(x+T)\neq f(x)$.
Можно сказать и иначе: «Существует число $x\in D(f)$ такое, что равенство $f(x+T) = f(x)$ не выполняется» - это равенство может не выполняться по двум причинам: или оно не имеет смысла , т.е. одна из его частей не определена, или - в противном случае, быть неверным. Для интереса добавим, что языковой эффект, о котором мы говорили выше, здесь проявляется тоже: для равенства «не быть верным» и «быть неверным» - не одно и то же - равенство еще может не иметь смысла.
Детальное выяснение причин и последствий этого языкового эффекта в действительности является предметом не математики, а теории языка, лингвистики, точнее, ее особого раздела: семантики - науки о смысле, где, впрочем, эти вопросы являются весьма сложными и не имеют однозначного решения. А математика, в том числе и школьная, вынуждена мириться с этими трудностями и преодолевать языковые «неурядицы» - пока и поскольку она использует, наряду с символическим, и естественный язык.